题目内容
15.为了研究某灌溉渠道水的流速y与水深x之间的关系,测得一组数据如下表:水深x(m) | 1.6 | 1.7 | 1.8 | 1.9 | 2.0 |
流速y(m/s) | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
(2)若y与x之间具有线性相关关系,求y对x的回归直线方程; ($\sum_{i=1}^5{x_i^2}=16.3$,$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=18.5$)
(3)预测水深为1.95m水的流速是多少.
参考公式:$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{({x_i}-\overline x)({y_i}-\overline y)}}}{{\sum_{i=1}^n{{{({x_i}-\overline x)}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2}-n{{\overline x}^2}}}$$a=\overline y-b\overline x$.
分析 (1)根据散点图可以直观地看出变量y与x之间有近似的线性相关关系;
(2)求出横标和纵标的平均数,写出样本中心点,由回归直线的斜率可求回归直线的方程;
(3)当x=1.95时,代入回归直线方程计算,即可得到水深为1.95m水的流速
解答 解:(1)散点图如图,
由图象知变量y与x具有相关关系.…(2分)
(2)经计算可得$\overline{x}=1.8$,$\overline y=2$,$\sum_{i=1}^5{x_i^2}=16.3$,$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=18.5$…(4分)
b=$\frac{{\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}-5×\bar x\bar y}}{{\sum_{i=1}^5{x_i^2}-5×{{\bar x}^2}}}$=$\frac{18.5-5×1.8×2}{{16.3-5×{{1.8}^2}}}=5$…(6分)
a=$\overline y$-b$\overline x$=2-5×1.8=-7.…(7分)
故所求的回归直线方程为y=5x-7.…(8分)
(3)当x=1.95时,y?=5×1.95-7=2.75.
即水深为1.95m 时水的流速约是2.75m/s.…(10分)
点评 本题考查线性回归方程,考查线性回归方程的应用,从散点图可以直观地看出变y与x之间有线性相关关系,利用线性回归方程用来预报当自变量取某一个数值时对应的y的值,属于基础题.
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