Question

13．设a，b，c分别是锐角△ABC的角A，B，C所对的边，且$\sqrt{3}$a-2csinA=0．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{7}$，且a+b=5，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理，得到$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，然后求解C即可．
（Ⅱ）利用a+b=5，∴a²+2ab+b²=25，求出$c=\sqrt{7}$，然后利用余弦定理，得ab，即可求解三角形的面积．

解答 解：（Ⅰ）∵△ABC为锐角三角形，且$\sqrt{3}a-2csinA=0$，
∴由正弦定理，得$\sqrt{3}sinA-2sinCsinA=0$，…（2分）
∴$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（4分）
故$C=\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）∵a+b=5，∴a²+2ab+b²=25（1）…（7分）
又∵$c=\sqrt{7}$，$C=\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理，得${a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}=7$，即a²+b²-ab=7（2）…（9分）
由（1）、（2）两式得：ab=6，…（11分）
故由三角形的面积公式，得$S=\frac{1}{2}absin\frac{π}{3}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$． …（13分）

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．