题目内容
【题目】已知双曲线
：
经过点
，且其中一焦点
到一条渐近线的距离为1.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点
作两条相互垂直的直线
，
分别交双曲线于
，
两点，求点到直线
距离的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）将
的坐标代入双曲线的方程，再由点到直线的距离公式，可得
，解得
，进而得到双曲线的方程；
（2）设
，
，直线
的方程为
，将代入
中，整理得
，根据
可得
的关系，从而将点到直线距离表示成关于
的函数，再求最值。
（1）∵双曲线
过点
，∴
.
不妨设
为右焦点，则
到渐近线
的距离
，
∴，
，
∴所求双曲线的方程为.
（2）设，，直线的方程为.
将代入中，整理得.
∴
①，
②，
∵，∴
，
∴
，
∴
.③
将①②代入③，得
，
∴
.而
，∴
，
从而直线的方程为
.
将代入
中，
判别式
恒成立，
∴
即为所求直线，该直线过定点
，
当
时，点到直线距离取最大值
.
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打卡天数 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
男生人数 | 3 | 5 | 3 | 7 | 2 |
女生人数 | 3 | 5 | 5 | 7 | 3 |
（1）根据上表数据，求该幼儿园男生平均打卡的天数；
（2）若从打卡21天的小朋友中任选2人交流心得，求选到男生和女生各1人的概率.
