Question

【题目】如图,在直角梯形ABCD中AD∥BC,∠ADC＝90°,平面ABCD外一点P在平面ABCD内的射影Q恰在边AD上, PA＝AD＝2 BC＝2,CD＝.

(1)若平面PQB⊥平面PAD,求证：Q为线段AD中点；

(2)在(1)的条件下,若M在线段PC上,且PA∥平面BMQ,求点M到平面PAB的距离.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】(1)证明：∵P在平面ABCD内的射影Q恰在边AD上,

∴PQ⊥平面ABCD,

∵BQ平面ABCD,∴PQ⊥BQ,（2分）

∵PQB⊥平面PAD,且平面PQB∩平面PAD ＝PQ,

∴BQ⊥平面PAD.

∵AD平面PAD,∴BQ⊥AD.（4分）

∵∠ADC＝90°,∴CD∥BQ,

又AD∥BC,∴四边形BCDQ为平行四边形,

∴BC=QD=1,AQ=AD-QD=2-1=1,

∴AQ=QD,即Q为线段AD中点.（6分）

(2)连接AC与BQ交于点N,则N为AC中点,连接,

∵PA∥平面BMQ,∴PA∥MN,

∴M为PC中点,（8分）

∴点M到平面PAB的距离是点C到平面PAB的距离的,

在三棱锥中,高,底面积为,

∴三棱锥的体积,（10分）

又△PAB中,PA=AB=2,PB=,

∴△PAB的面积为.

设点M到平面PAB的距离为d,由可得,则,

∴点M到平面PAB的距离为.（12分）