Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；

（Ⅱ）当，且时，求证：．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（Ⅰ）．………………1分

当时，，则时，，单调递增；时， ，单调递减．………………2分

当时，令，得或．

①当时，，则当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；

②当时，，恒成立，在上单调递减，无增区间；………………4分

综上，当时，的单调减区间是，单调增区间是；当时，的单调减区间是，单调增区间是；当时，的单调减区间是，无增区间．………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则为了证明：，

只需证明，

即证：．………………6分

令，则．………………7分

令，则．………………8分

因为，且，所以，，

所以，………………9分

所以在上单调递增，则，即，

所以函数在上单调递增，，………………10分

即不等式成立，

故不等式成立．………………12分

【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、导数在不等式中的应用，意在考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力以及分类讨论思想．