Question

3．已知P是直线3x+4y+8=0的动点，PA、PB是圆（x-1）²+（y-1）²=1的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由圆的方程为求得圆心C，半径r，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．

解答 解：∵圆的方程为：（x-1）²+（y-1）²=1，∴圆心C（1，1），半径r=1．
根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，
切线长PA，PB最小．
∵圆心到直线的距离为d=$\frac{|3+4+8|}{5}$=3，∴PA=PB=2$\sqrt{2}$．
故四边形PACB面积的最小值为 2S_△PAC=2×$\frac{1}{2}$×PA×r=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题的考点是直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，解题的关键是“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”属于中档题．