题目内容
(本小题满分15分)已知函数
(1)若函数在上为增函数,求实数的取值范围;
(2)当时,求在上的最大值和最小值;
(3)当时,求证对任意大于1的正整数,恒成立.
(1)若函数在上为增函数,求实数的取值范围;
(2)当时,求在上的最大值和最小值;
(3)当时,求证对任意大于1的正整数,恒成立.
(1);(2)
(3)
(3)
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用
(1)因为函数在给定区间x>1上单调递增,则说明导函数恒大于等于零,然后分离参数求解取值范围。
(2)把a=1,代入关系式中,求解导数,研究单调性,进而得到极值和端点值的函数值,然后比较大小得到最值。
(3)由(1)可知f(x)>f(1)恒成立,那么可知不等式关系式,然后结合放缩法得到结论。
解:(1)由已知得,
依题意得对任意恒成立,
即对任意恒成立,
而
(2)当时,,令,得,
若时,,若时,,
故是函数在区间上的唯一的极小值,也是最小值,即,
而,
由于,则
(3)当时,由(1)知在上为增函数
当,令,则,所以
即
所以
各式相加得
(1)因为函数在给定区间x>1上单调递增,则说明导函数恒大于等于零,然后分离参数求解取值范围。
(2)把a=1,代入关系式中,求解导数,研究单调性,进而得到极值和端点值的函数值,然后比较大小得到最值。
(3)由(1)可知f(x)>f(1)恒成立,那么可知不等式关系式,然后结合放缩法得到结论。
解:(1)由已知得,
依题意得对任意恒成立,
即对任意恒成立,
而
(2)当时,,令,得,
若时,,若时,,
故是函数在区间上的唯一的极小值,也是最小值,即,
而,
由于,则
(3)当时,由(1)知在上为增函数
当,令,则,所以
即
所以
各式相加得
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