题目内容
【题目】平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,且).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)已知点P的极坐标为,Q为曲线上的动点,求的中点M到曲线的距离的最大值.
【答案】(1),.(2)
【解析】
(1)化简得到,再考虑,利用极坐标方程公式得到答案.
(2)P的直角坐标为,设点,故,代入圆方程得到M在圆心为,半径为1的圆上,计算得到最大距离.
(1)因为,所以3×①+4×②,得.
又,
所以的普通方程为,
将,代入曲线的极坐标方程,得曲线的直角坐标方程为.
(2)由点P的极坐标,可得点P的直角坐标为.
设点,因为M为的中点,所以
将Q代入的直角坐标方程得,
即M在圆心为,半径为1的圆上.
所以点M到曲线距离的最大值为,
由(1)知不过点,且,
即直线与不垂直.
综上知,M到曲线的距离的最大值为.
【题目】某村为了脱贫致富,引进了两种麻鸭品种,一种是旱养培育的品种,另一种是水养培育的品种.为了了解养殖两种麻鸭的经济效果情况,从中随机抽取500只麻鸭统计了它们一个季度的产蛋量(单位:个),制成了如图的频率分布直方图,且已知麻鸭的产蛋量在的频率为0.66.
(1)求,的值;
(2)已知本次产蛋量近似服从(其中近似为样本平均数,似为样本方差).若本村约有10000只麻鸭,试估计产蛋量在110~120的麻鸭数量(以各组区间的中点值代表该组的取值).
(3)若以正常产蛋90个为标准,大于90个认为是良种,小于90个认为是次种.根据统计得出两种培育方法的列联表如下,请完成表格中的统计数据,并判断是否有99.5%的把握认为产蛋量与培育方法有关.
良种 | 次种 | 总计 | |
旱养培育 | 160 | 260 | |
水养培育 | 60 | ||
总计 | 340 | 500 |
附:,则,,.
,其中.
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |