题目内容

【题目】平面直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数,且.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;

2)已知点P的极坐标为Q为曲线上的动点,求的中点M到曲线的距离的最大值.

【答案】1.2

【解析】

1)化简得到,再考虑,利用极坐标方程公式得到答案.

2P的直角坐标为,设点,故,代入圆方程得到M在圆心为,半径为1的圆上,计算得到最大距离.

1)因为,所以+4×②,得.

所以的普通方程为

代入曲线的极坐标方程,得曲线的直角坐标方程为.

2)由点P的极坐标,可得点P的直角坐标为.

设点,因为M的中点,所以

Q代入的直角坐标方程得

M在圆心为,半径为1的圆上.

所以点M到曲线距离的最大值为

由(1)知不过点,且

即直线不垂直.

综上知,M到曲线的距离的最大值为.

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