Question

【题目】已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．

(1)求证：△OAB的面积为定值； (2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）求出半径，写出圆的方程，再解出、的坐标，表示出面积即可；（2）通过题意解出的方程，解出的值，直线与圆交于点， ，判断是否符合要求，可得圆的方程.

试题解析：(1)证明：由题意知圆过原点， ，则圆的方程为，令，得， ；令，得， .∴，即的面积为定值．

(2)∵， ，∴垂直平分线段.∵，∴，∴直线的方程为，∵在直线上，∴，解得或，当时，圆心的坐标为， ，此时圆心到直线的距离，∴圆与直线相交于两点；当时，圆心的坐标为， ，此时圆心到直线的距离，圆与直线不相交，∴不符合题意，应舍去．∴圆的方程为.