Question

【题目】设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A.f（x）f（﹣x）是奇函数
B.f（x）|f（﹣x）|是奇函数
C.f（x）﹣f（﹣x）是偶函数
D.f（x）+f（﹣x）是偶函数

Answer 1

【答案】D
【解析】解：A中令F（x）=f（x）f（﹣x），则F（﹣x）=f（﹣x）f（x）=F（x），

即函数F（x）=f（x）f（﹣x）为偶函数，

B中F（x）=f（x）|f（﹣x）|，F（﹣x）=f（﹣x）|f（x）|，因f（x）为任意函数，故此时F（x）与F（﹣x）的关系不能确定，即函数F（x）=f（x）|f（﹣x）|的奇偶性不确定，

C中令F（x）=f（x）﹣f（﹣x），令F（﹣x）=f（﹣x）﹣f（x）=﹣F（x），即函数F（x）=f（x）﹣f（﹣x）为奇函数，

D中F（x）=f（x）+f（﹣x），F（﹣x）=f（﹣x）+f（x）=F（x），即函数F（x）=f（x）+f（﹣x）为偶函数，

所以答案是：D．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数奇偶性的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．