Question

【题目】对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.1]=1，[﹣2.1]=﹣3．定义在R上的函数f（x）=[2x]+[4x]+[8x]，若A={y|y=f（x），0＜x＜1}，则A中所有元素之和为 ．

Answer 1

【答案】44
【解析】解：∵[x]表示不超过x的最大整数，A={y|y=f（x），0＜x＜1}，当0＜x＜ 时，0＜2x＜ ，0＜4x＜ ，0＜8x＜1，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+0+0=0；
当 ≤x＜ 时， ≤2x＜ ， ≤4x＜1，1≤8x＜2，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+0+1=1；
当 ≤x＜ 时， ≤2x＜ ，1≤4x＜ ，2≤8x＜3，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+1=2=3；
当 ≤x＜ 时， ≤2x＜1， ≤4x＜2，3≤8x＜4，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+1+3=4；
当 ≤x＜ 时，1≤2x＜ ，2≤4x＜ ，4≤8x＜5，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+2+4=7；
当 ≤x＜ 时， ≤2x＜ ， ≤4x＜3，5≤8x＜6，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+2+5=8；
当 ≤x＜ 时， ≤2x＜ ，3≤4x＜ ，6≤8x＜7，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+3+6=10；
当 ≤x＜1时， ≤2x＜2， ≤4x＜4，7≤8x＜8，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+3+7=11；
∴A={0，1，3，4，7，8，10，11}．
∴A中所有元素之和为0+1+3+4+7+8+10+11=44．
所以答案是：44．
【考点精析】关于本题考查的函数的最值及其几何意义，需要了解利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能得出正确答案．