题目内容
【题目】已知函数,以下结论正确的个数为( )
①当时,函数
的图象的对称中心为
;
②当时,函数
在
上为单调递减函数;
③若函数在
上不单调,则
;
④当时,
在
上的最大值为15.
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
逐一分析选项,①根据函数的对称中心判断;②利用导数判断函数的单调性;③先求函数的导数,若满足条件,则极值点必在区间
;④利用导数求函数在给定区间的最值.
①为奇函数,其图象的对称中心为原点,根据平移知识,函数
的图象的对称中心为
,正确.
②由题意知.因为当
时,
,
又,所以
在
上恒成立,所以函数
在
上为单调递减函数,正确.
③由题意知,当
时,
,此时
在
上为增函数,不合题意,故
.
令,解得
.因为
在
上不单调,所以
在
上有解,
需,解得
,正确.
④令,得
.根据函数的单调性,
在
上的最大值只可能为
或
.
因为,
,所以最大值为64,结论错误.
故选:C
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