Question

13．在数列{a_n}中，已知前n项和S_n=1-$\frac{1}{3}$a_n，a_n为数列的通项，求：
（1）数列{a_n}中的前三项a₁，a₂，a₃；
（2）数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）把n=1，2，3分别代入S_n=2a_n-1就可以求出a₁a₂，a₃的值；
（2）首先表示出s_n-1，然后利用a_n=s_n-s_n-1，即可求出通项公式．

解答 解：（1）在数列{a_n}中，已知前n项和S_n=1-$\frac{1}{3}$a_n，a_n为数列的通项，所以a₁=S₁=1-$\frac{1}{3}$a₁，解得a₁=$\frac{3}{4}$；
S₂=a₁+a₂=1-$\frac{1}{3}$a₂，解得a₂=$\frac{3}{16}$；
S₃=a₁+a₂+a₃=1-$\frac{1}{3}$a₃，解得a₃=$\frac{3}{64}$；
（2）因为S_n=1-$\frac{1}{3}$a_n，
所以S_n-1=1-$\frac{1}{3}$a_n-1，n＞1，
两式相减得${a}_{n}=-\frac{1}{3}{a}_{n}+\frac{1}{3}{a}_{n-1}$，所以${a}_{n}=\frac{1}{4}{a}_{n-1}$，所以数列{a_n}是$\frac{3}{4}$为首项，$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，所以数列a_n=$\frac{3}{4}×（\frac{1}{4}）^{n-1}=\frac{3}{{4}^{n}}$．

点评 本题考查了数列的递推式和等比数列的通项公式，巧用a_n=s_n-s_n-1是解题的关键，属于基础题．