Question

5．已知数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\frac{4}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$（n∈N^*），数列{b_n}前n项和为T_n，问满足T_n＞$\frac{1000}{2009}$的最小正整数n是多少？

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，利用等差数列的通项公式先求出d=2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）利用裂项法求和，根据T_n＞$\frac{1000}{2009}$，建立不等式，即可求出满足T_n＞$\frac{1000}{2009}$的最小正整数n．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，
∴2+2+d+2+2d=12，
解得d=2，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n．
（2）∵b_n=$\frac{4}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$=$\frac{4}{4（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
∵T_n＞$\frac{1000}{2009}$，
∴$\frac{n}{2n+1}$＞$\frac{1000}{2009}$，
∴n＞111$\frac{1}{9}$，
∴满足T_n＞$\frac{1000}{2009}$的最小正整数n是112．

点评 本题考查了等差数列的通项公式以及前n项和公式，正确运用裂项法是关键．