Question

18．设函数f（x）是偶函数，且在（-∞，0）上是增函数，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析 直接利用偶函数的性质：在关于原点对称的区间上单调性相反即可得出其在（0，+∞）上的单调性；再利用函数单调性的定义证明结论即可．

解答 解：因为偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；
且f（x）在（-∞，0）上是增函数，
故f（x）在（0，+∞）是减函数．
证明如下：若0＜x₁＜x₂＜+∞，那么-∞＜-x₂＜-x₁＜0．
由于偶函数在（-∞，0）上是增函数，故有：f（-x₂）＜f（-x₁）
又根据偶函数的性质可得：f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）=f（x₂）
综上可得：f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在（0，+∞）上是减函数

点评 本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合问题．这一类型题目，主要是考查偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，而奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同这一结论．