Question

6．设a为实数，0＜a＜1，函数f（x）在0≤x≤y≤1时，有f（0）=0，f（1）=1，f（$\frac{x+y}{2}$）=（1-a）f（x）+af（y）
（1）求a的值；
（2）求f（$\frac{1}{7}$）的值．

Answer 1

分析 （1）f（$\frac{x+y}{2}$）=（1-a）f（x）+af（y）进行赋值，可得出关于a的方程，即可求得a的值，
（2）由（1）可归纳得到f（x）=x，于是可以求出f（$\frac{1}{7}$）的值．

解答 解：（1）由f（$\frac{x+y}{2}$）=（1-a）f（x）+af（y），
令x=0，y=1，可得f（$\frac{1}{2}$）=（1-a）f（0）+af（1）=a，
令x=0，y=$\frac{1}{2}$，可得f（$\frac{1}{4}$）=（1-a）f（0）+af（$\frac{1}{2}$）=a²，
令x=$\frac{1}{2}$，y=1，可得f（$\frac{3}{4}$）=（1-a）f（$\frac{1}{2}$）+af（1）=2a-a²，
令x=$\frac{1}{4}$，y=$\frac{3}{4}$，可得f（$\frac{1}{2}$）=（1-a）f（$\frac{1}{4}$）+af（$\frac{3}{4}$），
∴a=（1-a）a²+a（2a-a²），
∴a（2a-1）（a-1）=0，
∵0＜a＜1，
∴a=$\frac{1}{2}$，
（2）由（1）可得，f（0）=0，f（1）=1，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{4}$，f（$\frac{3}{4}$）=$\frac{3}{4}$，
∴可以猜测f（x）=x，
∴f（$\frac{1}{7}$）=$\frac{1}{7}$．

点评 本题考查抽象函数，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题