题目内容
【题目】(本小题满分分)
已知半径为的圆的圆心在
轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线
相切.
(Ⅰ)求圆的方程.
(Ⅱ)设直线与圆相交于
,
两点,求实数
的取值范围.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数,使得点
到
,
两点的距离相等,若存在,求出实数
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),圆的方程是
.(2)
(3)
【解析】试题分析:(Ⅰ)设圆心为M(m,0)(m∈Z).由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切,且半径为5,所以 ,由此能求出圆的方程.
(Ⅱ)把直线ax﹣y+5=0代入圆的方程,得,由于直线ax﹣y+5=0交圆于A,B两点,故△>0,由此能求出实数a的取值范围.
(Ⅲ设符合条件的实数存在,则存在过点
的直线
垂直平分弦
,由于
垂直平分弦
,故圆心
必在
上,从而求出实数
的值.
试题解析:
()设圆心为
.
由于圆与直线相切,且半径为
,所以
,即
,
因为为整数,故
,
故所求的圆的方程是.
()直线
即
代入圆的方程,消去
整理得
,
由于直线交圆于
、
两点,故
,
即,解得
或
.
所以实数的取值范围是
.
()设符合条件的实数
存在,则存在过点
的直线
垂直平分弦
,由(
)得
,则直线
的斜率为
,
的方程为
,即
.
由于垂直平分弦
,故圆心
必在
上,所以
,解得
.
因为.
故存在实数,使得点
到
,
两点的距离相等.
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