Question

【题目】（本小题满分分）

如图，在中， ， ， 分别为， 的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图．

（Ⅰ）求证： 平面．

（Ⅱ）求证： ．

（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面？说明理由．

Answer 1

【答案】详见解析

【解析】试题分析：（1）D，E分别为AC，AB的中点，易证DE∥平面A1CB；

（2）由题意可证DE⊥平面A1DC，从而有DE⊥A1F，又A1F⊥CD，可证A1F⊥平面BCDE，问题解决；

（3）取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC，平面DEQ即为平面DEP，由DE⊥平面，P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，可证A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ．

试题解析：

（）证明：∵， 分别为， 的中点，

∴．

又∵平面， 平面，

∴平面．

（）证明：由已知得且，∴．

又∵，∴平面．

而平面，∴．

又∵，∴平面，

∴．

（）线段上存在点，使得平面，理由如下：

如图，分别取， 的中点， ，则．

又∵，∴，∴平面即为平面．

由（）知， 平面，∴．

又∵是等腰三角形底边的中点，∴．

∴平面，于是平面．

故线段上存在点，使得平面．