Question

【题目】已知抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为.

（1）求抛物线的方程；

（2）若过点的直线与抛物线交于不同的两点，且以为直径的圆过坐标原点，求的面积。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）由抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为可得 解得，从而可得抛物线的方程；（2）先讨论直线斜率不存在时的情况，当斜率存在时，设直线方程为联立，消去得 ，根据韦达定理、平面向量数量积公式以及弦长公式、点到直线距离公式与三角形面积公式可求得的面积.

试题解析：（1）依题意： 解得，所以抛物线的方程为

（2）依题意：若直线斜率不存在时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意；

所以设直线方程为

联立，消去得

所以

又

因为以为直径的圆过坐标原点，所以，

所以

解得，由，点到直线的距离为

所以。