题目内容
【题目】已知对任意的x∈R,3a(sinx+cosx)+2bsin2x≤3(a,b∈R)恒成立,则当a+b取得最小值时,a的值是 .
【答案】﹣
【解析】解:由题意可令sinx+cosx=﹣ , 两边平方可得1+2sinxcosx= ,
即有sin2x=﹣ ,
代入3a(sinx+cosx)+2bsin2x≤3,可得﹣ a﹣ b≤3,
可得a+b≥﹣2,
当a+b=﹣2时,令t=sinx+cosx= sin(x+ )∈[﹣ , ],
即有sin2x=t2﹣1,代入3a(sinx+cosx)+2bsin2x≤3,
可得﹣2bt2+3(2+b)t+3+2b≥0,对t∈[﹣ , ]恒成立,
则△=9(2+b)2+8b(3+2b)≤0,
即为(5b+6)2≤0,但(5b+6)2≥0,则5b+6=0,可得b=﹣ ,a=﹣ .
而当b=﹣ ,a=﹣ 时,3a(sinx+cosx)+2bsin2x=﹣ t﹣ (t2﹣1)
=﹣ (t+ )2+3≤3.
所以当a+b取得最小值﹣2,此时a=﹣ .
所以答案是:﹣ .
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