Question

【题目】如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．
（1）证明：平面ACF⊥平面BEFD
（2）若二面角A﹣EF﹣C是二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，

∴AC⊥平面BEFD，

∵AC平面ACF，∴平面ACF⊥平面BEFD

（2）解：设AC与BD的交点为O，由（1）得AC⊥BD，

分别以OA，OB为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，

∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BD，

∵DF∥BE，∴DF⊥BD，

∴BD2=EF2﹣（DF﹣BE）2=8，∴BD=2 ．

设OA=a，（a＞0），

由题设得A（a，0，0），C（﹣a，0，0），E（0， ），F（0，﹣ ，2），

设m=（x，y，z）是平面AEF的法向量，

则 ，取z=2 ，得 =（ ），

设 是平面CEF的一个法向量，

则 ，取 ，得 =（﹣ ，1，2 ），

∵二面角A﹣EF﹣C是直二面角，

∴ =﹣ +9=0，解得a= ，

∵BE⊥平面ABCD，

∴∠BAE是直线AE与平面ABCD所成的角，

∴AB= =2，∴tan ．

∴直线AE与平面ABCD所成角的正切值为 ．

【解析】（1）推导出AC⊥BD，BE⊥AC，从而AC⊥平面BEFD，由此能证明平面ACF⊥平面BEFD．（2）设AC与BD的交点为O，分别以OA，OB为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与平面ABCD所成角的正切值．