Question

【题目】已知二次函数，为偶函数，函数的图象与直线相切．

（1）求的解析式；

（2）已知函数且，求的单调递减区间和极值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）单调递减区间为，极小值为，极大值为

【解析】

（1）欲求f（x）的解析式，先利用f（x）的解析式求得f（x+1）的解析式，结合f（x+1）为偶函数列出等式，再根据函数f（x）的图象与直线y＝x相切，将直线的方程代入二次函数的解析式，利用根的唯一性的条件列出另一个方程．从而求出a，b．问题解决．

（2）对函数进行求导，通过分析的正负及零点求得单调递减区间和极值.

（1）∵为偶函数，∴，即

恒成立，即恒成立，

∴，∴，∴．

∵函数的图象与直线相切，

∴二次方程有两相等实数根，

∴，∴，．

（2）函数，

，

所以的单调递减区间为

且的极小值为，极大值为