Question

4．已知$sin（x+\frac{π}{3}）=\frac{1}{3}，x∈（0，π）$，则$sin（\frac{π}{6}-x）$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；$cos（2x+\frac{π}{3}）$=$\frac{7+4\sqrt{6}}{18}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式、两角差的余弦公式，求得要求式子的值．

解答 解：∵已知$sin（x+\frac{π}{3}）=\frac{1}{3}，x∈（0，π）$，∴x+$\frac{π}{3}$为钝角，
则$sin（\frac{π}{6}-x）$=sin[$\frac{π}{2}$-（x+$\frac{π}{3}$）]=cos（x+$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（x+\frac{π}{3}）}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴sin（2x+$\frac{2π}{3}$）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）cos（x+$\frac{π}{3}$）=2×$\frac{1}{3}$×（-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）=-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
cos（2x+$\frac{2π}{3}$）=2${cos}^{2}（x+\frac{π}{3}）$-1=2×$\frac{8}{9}$-1=$\frac{7}{9}$，
∴$cos（2x+\frac{π}{3}）$=cos[（2x+$\frac{2π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+sin（2x+$\frac{2π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$ 
=$\frac{7}{9}×\frac{1}{2}$+（-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{7-4\sqrt{6}}{18}$，
故答案为：$\frac{7-4\sqrt{6}}{18}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式、两角差的余弦公式的应用，属于基础题．