Question

【题目】设函数.

（1）求的单调区间和极值；

（2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点.

Answer 1

【答案】（1）递减区间是，递增区间是，极小值；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）令，再列表可得：递减区间是，递增区间是，极小值；（2）由（1）知， ．由存在零点，当时，在区间上单调递减，且是在区间上的唯一零点；当时，在区间上单调递减，且在区间上仅有一个零点，综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点．

试题解析：（1）由得，

由解得与在区间上的情况如下：

	-		+

所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；

在处取得极小值．

（2）由（1）知，在区间上的最小值为．

因为存在零点，所以，从而，

当时，在区间上单调递减，且，

所以是在区间上的唯一零点．

当时，在区间上单调递减，且．

所以在区间上仅有一个零点，

综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点．