Question

【题目】已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}． （Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f（x）﹣2f（ ）≤k恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）≤3，即|ax+1|≤3，即﹣3≤ax+1≤3，即﹣4≤ax≤2． 当a＞0时，求得﹣ ≤x≤ ，再根据它的解集为{x|﹣2≤x≤1}，可得 ，求得a=2．
当a＜0时，求得 ≤x≤﹣ ，再根据它的解集为{x|﹣2≤x≤1}，可得 ，a无解．
综上可得，a=2，f（x）=|2x+1|．
（Ⅱ）若f（x）﹣2f（ ）≤k恒成立，即|2x+1|﹣2|x+1|≤k恒成立．
令g（x）=|2x+1|﹣2|x+1|= ，故函数g（x）的最大值为1，
故k≥1
【解析】（Ⅰ）由条件分类讨论，解绝对值不等式，求得不等式f（x）≤3的解集．再根据不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，求得a的值．（Ⅱ）由题意可得|2x+1|﹣2|x+1|≤k恒成立，令g（x）=|2x+1|﹣2|x+1|，利用分段函数求得g（x）的最大值，可得k的范围．
【考点精析】掌握绝对值不等式的解法是解答本题的根本，需要知道含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．