Question

（本题满分12分）如图,直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=1，直线B₁C与平面ABC成30°角，求二面角B-B₁C-A的正弦值.

Answer 1

解：由直三棱柱性质得平面ABC⊥平面BCC₁B₁，过A作AN⊥平面BCC₁B₁，垂足为N，则AN⊥平面BCC₁B₁（AN即为我们要找的垂线）,在平面BCB₁内过N作NQ⊥棱B₁C，垂足为Q，连接QA，则∠NQA即为二面角的平面角.
∵AB₁在平面ABC内的射影为AB，CA⊥AB，
∴CA⊥B₁A.AB=BB₁=1，得AB₁=.
∵直线B₁C与平面ABC成30°角，∴∠B₁CB=30°，B₁C=2.
在Rt△B₁AC中，由勾股定理,得AC=.∴AQ=1.
在Rt△BAC中，AB=1，AC=，得AN=.
sin∠AQN==,
即二面角BB₁CA的正弦值为.

略