Question

14．如图所示，点A，B分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF，设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|．
（1）求点P的坐标；
（2）求点M的坐标；
（3）求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得点A（-6，0），F（4，0），由已知得由已知得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1}\\{（x+6）（x-4）+{y}^{2}=0}\end{array}\right.$，代入条件解得P点坐标．
（2）求得直线AP的方程是x-$\sqrt{3}$y+6=0．设点M的坐标是（m，0），则由M到直线AP的距离解得M点的坐标．
（3）设椭圆上的点（x，y）到点M的距离d，有d²=（x-2）²+y²=$\frac{4}{9}$（x-$\frac{9}{2}$）²+15，由x的取值范围求得d的最小值．

解答 解：（1）由已知可得点A（-6，0），F（4，0），
设点P的坐标是（x，y），
则$\overrightarrow{AP}$=（x+6，y），$\overrightarrow{FP}$=（x-4，y）．
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1}\\{（x+6）（x-4）+{y}^{2}=0}\end{array}\right.$…（2分）
则2x²+9x-18=0，即得x=$\frac{3}{2}$或x=-6．
由于y＞0，只能x=$\frac{3}{2}$，于是y=$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$．
∴点P的坐标是（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$）…（5分）
（2）直线AP的方程是x-$\sqrt{3}$y+6=0．
设点M的坐标是（m，0），则M到直线AP的距离是$\frac{|m+6|}{2}$，于是$\frac{|m+6|}{2}$=|m-6|，…（7分）
又-6≤m≤6，解得m=2，∴点M的坐标是（2，0）…（9分）
（3）设椭圆上的点（x，y）到点M的距离d，有d²=（x-2）²+y²=$\frac{4}{9}$（x-$\frac{9}{2}$）²+15，…（12分）
由于-6≤x≤6．
∴当x=$\frac{9}{2}$时，d取最小值$\sqrt{15}$…（14分）

点评 本题主要考查圆锥曲线的性质以及性质的应用，属于中档题型，注意性质的记忆．