Question

5．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，AC=$\frac{1}{2}$AA₁，D、E分别是棱AA₁、CC₁的中点．
（1）证明：AE∥平面BDC₁；
（2）证明：DC₁⊥平面BDC．

Answer 1

分析 （1）欲证明AE∥平面BDC₁，只需推知AE∥DC₁即可；
（2）欲证明DC₁⊥平面BDC，只需证得DC₁与平面BDC内的两条相交线垂直即可．

解答 证明：（1）因为D、E分别是棱AA₁、CC₁的中点，AC=$\frac{1}{2}$AA₁，
所以AD∥C₁E，且AD=C₁E，
所以四边形DAEC₁是平行四边形，
所以AE∥DC₁．
因为DC₁?平面BDC₁，
所以AE∥平面BDC₁；
（2）由题意知，BC⊥CC₁，BC⊥AC．
所以BC⊥面ACC₁A₁．
又DC₁?面ACC₁A₁，
所以DC₁⊥BC．
在矩形ACC₁A₁中，因为AC=$\frac{1}{2}$AA₁，D是棱AA₁的中点，
所以DC₁⊥DC．
因为DC₁⊥BC，DC₁⊥DC，且BC∩DC=C，
所以DC₁⊥平面BDC．

点评 本题考查了线面平行、线面垂直的判定定理，是一道中档题．解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．