题目内容
【题目】已知双曲线的离心率为2,左右焦点分别为
,
,过右焦点
且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,且
的周长为
.
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知直线,点P是双曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.
【答案】(1);(2)最小值为
【解析】
(1)根据题意可得,
,根据周长可得
,结合
,求解可得
,
,所以曲线C的方程为:
;
(2)求出与l平行且与C相切的直线,利用平行直线间距离公式可得最小值.
(1)由题得,所以
,
,
又,所以
,
,
,
因为的周长为
,
所以①,
又因为②,
①-②,得,
即,解得
,
,
所以曲线C的方程为:;
(2)设与直线平行且与C相切的直线方程为
,
由得
,
则,解得
.
设点P到直线l的距离为d,则根据平行线间的距离公式可得,,
所以当时,d取最小值为
.
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