Question

19．设直线l过点P（-1，0）且倾斜角为$\frac{π}{3}$，则直线l被椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1截得的弦长为$\frac{4\sqrt{22}}{7}$．

Answer 1

分析 求出椭圆的焦点坐标，根据点斜率式设直线方程，与椭圆方程消去y，利用根与系数的关系，根据弦长公式即可算出弦长．

解答 解：∵直线l过点P（-1，0）且倾斜角为$\frac{π}{3}$，y=$\sqrt{3}$（x+1），
设直线与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将AB方程与椭圆方程消去y，得7x²+12x+2=0
由韦达定理可得：x₁+x₂=$-\frac{12}{7}$，x₁x₂=$\frac{2}{7}$
因此，|AB|=$\sqrt{1+{（\sqrt{3}）}^{2}}$•|x₁-x₂|=2•$\sqrt{{（-\frac{12}{7}）}^{2}-4×\frac{2}{7}}$=$\frac{4\sqrt{22}}{7}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{22}}{7}$．

点评 本题给出椭圆经过焦点且倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线被椭圆所截弦长．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．