Question

【题目】在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为 （t为参数），直线l与曲线C分别交于M、N两点．
（1）写出曲线C和直线l的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），

转化成直角坐标方程为：y2=2ax

线l的参数方程为 （t为参数），

转化成直角坐标方程为：x﹣y﹣2=0

（2）解：将直线的参数方程 （t为参数），代入y2=2ax得到：

，

所以： ，t1t2=32+8a，①

则：|PM|=t1，|PN|=t2，|MN|=|t1﹣t2|

|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，

所以： ，②

由①②得：a=1

【解析】（1）直接利用关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程．（2）利用参数方程和抛物线方程建立成关于t的一元二次方程组，利用根和系数的关系求出两根和与两根积，进一步利用等比数列进一步求出a的值．