题目内容
【题目】已知定点,定直线
:
,动圆
过点
,且与直线
相切.
(Ⅰ)求动圆的圆心轨迹
的方程;
(Ⅱ)过点的直线与曲线
相交于
,
两点,分别过点
,
作曲线
的切线
,
,两条切线相交于点
,求
外接圆面积的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)当
时线段
最短,最短长度为4,此时圆的面积最小,最小面积为
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)设,由
化简即可得结论;(Ⅱ)由题意
的外接圆直径是线段
,设
:
,与
联立得
,从而得
,
时线段
最短,最短长度为4,此时圆的面积最小,最小面积为
.
试题解析:(Ⅰ)设点到直线
的距离为
,依题意
.
设,则有
.
化简得.
所以点的轨迹
的方程为
.
(Ⅱ)设:
,
代入中,得
.
设,
,
则,
.
所以
.
因为:
,即
,所以
.
所以直线的斜率为
,直线
的斜率为
.
因为,
所以,即
为直角三角形.
所以的外接圆的圆心为线段
的中点,线段
是直径.
因为,
所以当时线段
最短,最短长度为4,此时圆的面积最小,最小面积为
.
【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式,属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法,设出动点的坐标,根据题意列出关于
的等式即可;②定义法,根据题意动点符合已知曲线的定义,直接求出方程;③参数法,把
分别用第三个变量表示,消去参数即可;④逆代法,将
代入
.本题(Ⅰ)就是利用方法①求圆心轨迹方程的.
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