题目内容
【题目】如图,正三棱锥,已知
,
(1)求此三棱锥内切球的半径.
(2)若是侧面
上一点,试在面
上过点
画一条与棱
垂直的线段,并说明理由.
【答案】(1)半径为 ;(2) 过
作线段
平行于
,则
为所求,证明见解析.
【解析】试题分析; (1)过作
平面
,垂足为
,由正三棱锥的性质可得
为底面正三角形的中心,,求解三角形可得
,进一步得到
,求得
,再由棱锥体积公式求得正三棱锥
的体积,最后
可求此三棱锥内切球的半径
;
(2)由(1)结合线面垂直的判定可得 ,得到
,过
作线段
平行于
,则
为所求.
试题解析;(1)如图,过作
平面
,垂足为
,
∵为正三棱锥,∴
为底面正三角形的中心,
连接并延长交
于
,
则,且
,
∴,则
.
∴
;
(2)过作线段
平行于
,则
为所求.
理由:∵为正三棱锥,
过作
平面
,垂足为
,
∴为底面正三角形的中心,
则,
,
∴平面
,则
,
∵ ,
∴.
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