题目内容

【题目】定义在上的函数,如果存在函数为常数),使得对一切实数都成立,则称为函数的一个承托函数,给出如下命题:

①函数是函数的一个承托函数;

②函数是函数的一个承托函数;

③若函数是函数的一个承托函数,则的取值范围是

④值域是的函数不存在承托函数.

其中正确的命题的个数为__________

【答案】2

【解析】解:

,x>0,f(x)=lnx(∞,+∞)

∴不能使得f(x)g(x)=2对一切实数x都成立,故①错误;

,t(x)=f(x)g(x),t(x)=x+sinx(x1)=sinx+10恒成立,故函数g(x)=x1是函数f(x)=x+sinx的一个承托函数,②正确;

,h(x)=exax,h′(x)=exa

由题意,a=0时,结论成立;

a≠0,h′(x)=exa=0,则x=lna

∴函数h(x)(∞,lna)上为减函数,(lna,+∞)上为增函数,

x=lna时,函数取得最小值aalna

g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,

aalna0

lna1

0<ae

综上,0ae,故③正确;

,不妨令f(x)=2x,g(x)=2x1,f(x)g(x)=10恒成立,g(x)=2x1f(x)=2x的一个承托函数,④错误;

综上所述,所有正确命题的序号是②③

正确的命题的个数为2.

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