Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1．

（1）证明：BC⊥平面ACFE；

（2）设点M在线段EF上运动，平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ，求cosθ的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）证明BC⊥AC．通过平面ACFE⊥平面ABCD，推出BC⊥平面ACFE．

（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，求出平面MAB的一个法向量，平面FCB的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．

（1）证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°

所以AB＝2，所以AC2＝AB2+BC2﹣2ABBCcos60°＝3，

所以AB2＝AC2+BC2，所以BC⊥AC．

因为平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，

因为BC平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE．

（2）解：由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，

令，则C（0，0，0），，B（0，1，0），M（λ，0，1）．

∴，．

设（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，

由得，取x＝1，则(1，，)，

∵(1，0，0)是平面FCB的一个法向量

∴cosθ

∵，∴当λ＝0时，cosθ有最小值，当时，cosθ有最大值．

∴．