Question

9．若数列{a_n}是等比数列，且a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₃=2013，a₂²+a₃²+a₄²+a₅²+…+a₂₀₁₄²=2014，则a₃-a₄+a₅-a₆+…+a₂₀₁₅=（　　）

• A． $\frac{2013}{2014}$
• B． $\frac{2014}{2013}$
• C． $\frac{2015}{2014}$
• D． $\frac{2013}{2012}$

Answer 1

分析 由已知得a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₃=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2013}）}{1-q}$=2013，a₂²+a₃²+a₄²+a₅²+…+a₂₀₁₄²=${{a}_{1}}^{2}{q}^{2}+{{a}_{1}}^{2}{q}^{4}+…+{{a}_{1}}^{2}{q}^{2026}$=$\frac{{{a}_{1}}^{2}{q}^{2}（1-{q}^{2026}）}{1-{q}^{2}}$=2014，两式相除能求出a₃-a₄+a₅-a₆+…+a₂₀₁₅的值．

解答 解：∵数列{a_n}是等比数列，且a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₃=2013，a₂²+a₃²+a₄²+a₅²+…+a₂₀₁₄²=2014，
∴a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₃=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2013}）}{1-q}$=2013，①
a₂²+a₃²+a₄²+a₅²+…+a₂₀₁₄²=${{a}_{1}}^{2}{q}^{2}+{{a}_{1}}^{2}{q}^{4}+…+{{a}_{1}}^{2}{q}^{2026}$=$\frac{{{a}_{1}}^{2}{q}^{2}（1-{q}^{2026}）}{1-{q}^{2}}$=2014，②
$\frac{②}{①}$，得：$\frac{{{a}_{1}}^{2}{q}^{2}（1-{q}^{2026}）}{1-{q}^{2}}$•$\frac{1-q}{{a}_{1}（1-{q}^{2013}）}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{2}（1+{q}^{2013}）}{1+q}$=$\frac{2014}{2013}$，
∴a₃-a₄+a₅-a₆+…+a₂₀₁₅=$\frac{{a}_{1}{q}^{2}（1+{q}^{2013}）}{1+q}$=$\frac{2014}{2013}$．
故选：B．

点评 本题考查等比数列的项的代数和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．