Question

17．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+2}$是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（3）若对任意的x∈R，不等式f（mx²+x-3）+f（x²+mx）＞0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（0）=0，可得a=1；
（2）f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$在R上为减函数．运用单调性的定义，注意作差、变形、定符号和下结论；
（3）由f（x）为奇函数且为递减函数，可得mx²+x-3＜-x²-mx，即有（m+1）x²+（m+1）x-3＜0恒成立，讨论m+1=0，m+1＜0，且判别式小于0，解不等式即可得到m的范围．

解答 解：（1）由定义域为R的函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+2}$是奇函数，
可得f（0）=0，即a-2⁰=0，解得a=1；
（2）f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$在R上为减函数．
证明：设m＜n，f（m）-f（n）=（-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{1+{2}^{m}}$）-（-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{1+{2}^{n}}$）
=$\frac{{2}^{n}-{2}^{m}}{（1+{2}^{m}）（1+{2}^{n}）}$，
当m＜n时，2^m＜2ⁿ，即2ⁿ-2^m＞0，则f（m）-f（n）＞0，
即有f（x）在R上递减；
（3）不等式f（mx²+x-3）+f（x²+mx）＞0恒成立，即为
f（mx²+x-3）＞-f（x²+mx），
由f（-x）=-f（x），可得f（mx²+x-3）＞f（-x²-mx），
由f（x）在R上递减，可得mx²+x-3＜-x²-mx，
即有（m+1）x²+（m+1）x-3＜0恒成立，
当m+1=0即m=-1时，-3＜0恒成立；
当m+1＜0，且（m+1）²+12（m+1）＜0，（m+1）x²+（m+1）x-3＜0恒成立，
解得-13＜m＜-1．
综上可得m的范围是（-13，-1]．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断及应用：解不等式，考查二次不等式恒成立问题的解法，考查运算能力，属于中档题和易错题．