Question

18．已知圆C：x²+y²-4x-2y-4=0及点P（4，-3），直线mx-y-2m+1=0与圆C交于两点A，B．
（1）求过点P且被圆C截得的弦长为2$\sqrt{5}$的直线方程；
（2）试探究$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得圆心到直线的距离d=2．分直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，分别求出满足条件的直线方程，综合讨论结果，可得答案；
（2）直线mx-y-2m+1=0恒过圆C：x²+y²-4x-2y-4=0的圆心（2，1）点，则|$\overrightarrow{PO}$|=$\sqrt{（4-2）^{2}+（-3-1）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$互为相反相量，且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=3，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OB}$）=11．

解答 解：（1）圆C：x²+y²-4x-2y-4=0的圆心坐标为（2，1），半径为3，
∵直线被圆C截得的弦长为2$\sqrt{5}$，
则圆心到直线的距离d=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{2\sqrt{5}}{2}）^{2}}$=2，
若直线斜率不存在，则直线方程为x=4，满足条件；
若直线斜率存在，设直线斜率为k，则直线方程为；y+3=k（x-4），即kx-y-4k-3=0，
则d=$\frac{|2k-1-4k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，解得：k=-$\frac{3}{4}$，
此时直线方程为：-$\frac{3}{4}$x-y=0，即3x+4y=0，
综上所述，满足条件的直线为：x=4和3x+4y=0；
（2）直线mx-y-2m+1=0恒过圆C：x²+y²-4x-2y-4=0的圆心（2，1）点，
则|$\overrightarrow{PO}$|=$\sqrt{（4-2）^{2}+（-3-1）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$互为相反相量，且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=3，
则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OB}$）=$\overrightarrow{PO}$²+$\overrightarrow{PO}$•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{PO}$²-$\overrightarrow{OA}$²=20-9=11，
即$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$是定值11．

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，平面向量的数量积运算，是向量与平面几何的综合应用，难度中档．