Question

20．二次函数f（x）满足：f（2-x）=f（2+x），又f（0）=0，f（-1）=5，若y=f（x）在[-4，t]上的值域为[-4，32]，则实数t的取值范围是[2，8]．

Answer 1

分析 根据已知，求出f（x）=x²-4x，故当x=2时，函数取最小值-4，x=-4或x=8时，函数值为32，结合y=f（x）在[-4，t]上的值域为[-4，32]，可得实数t的取值范围．

解答 解：设函数f（x）=ax²+bx+c，
∵二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x），
∴抛物线的对称轴方程为：x=2．
又∵f（0）=0，f（-1）=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}c=0\\-\frac{b}{2a}=2\\ a-b+c=5\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-4\\ c=0\end{array}\right.$，
∴f（x）=x²-4x，
故当x=2时，函数取最小值-4，x=-4或x=8时，函数值为32，
若y=f（x）在[-4，t]上的值域为[-4，32]，
则t∈[2，8]，
故答案为：[2，8]．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．