题目内容
【题目】如图，已知抛物线E：
（
）与圆O：
相交于A，B两点，且
.过劣弧
上的动点
作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线
，
，相交于点M.
（1）求抛物线E的方程；
（2）求点M到直线
距离的最大值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）利用
求得圆心
到弦
的距离为1，即可求得点
的坐标为
，将
代入抛物线方程可得
，问题得解
（2）设
，
，分别求得
与
的方程，即可求得点
的横、纵坐标为
，
，联立直线
的方程和抛物线方程可得：
，
，即可得点的横、纵坐标为
，
，再由点到直线距离公式可得点M到直线
的距离为：
，
，利用其单调性可得：
，问题得解
（1）
，且B在圆上，
所以圆心到弦的距离
由抛物线和圆的对称性可得，
代入抛物线可得
，解得，
∴抛物线E的方程为；
（2）设
，
，
由，可得
，
∴
，
则的方程为：
，即
——①，
同理的方程为：
——②，
联立①②解得，，
又直线与圆
切于点
，
易得方程为
，其中
，
满足
，，
联立
，化简得
，
∴，，
设
，则
，
，
∴点M到直线的距离为：
，
易知d关于单调递减，
，
即点M到直线距离的最大值为.
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