Question

【题目】中心在原点的椭圆E的一个焦点与抛物线的焦点关于直线对称，且椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过点的直线l（直线的斜率k存在且不为0）交E于A，B两点，交x轴于点P点A关于x轴的对称点为D，直线BD交x轴于点Q.试探究是否为定值？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）为定值4，理由详见解析.

【解析】

（1）椭圆E的右焦点为，得到，计算，得到答案.

（2）设直线l的方程为，联立方程得到，计算得到，计算，得到答案.

（1）因为椭圆E的一个焦点与抛物线的焦点关于直线对称，

所以椭圆E的右焦点为，所以.

又椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为，所以，又，

所以椭圆E的标准方程为.

（2）设直线l的方程为，，则点，设

则点，联立直线l与椭圆E的方程有，

得，所以有，即

且，即直线BD的方程为

令\，得点Q的横坐标为，

代入得：，

所以，所以为定值4.