题目内容
【题目】已知椭圆
的上顶点为A，右焦点为F，O是坐标原点，
是等腰直角三角形，且周长为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l与AF垂直，且交椭圆于B，C两点，求
面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）依题意求出
，
，
的值，即可求出椭圆方程；
（2）由（1）可得直线
的斜率，则可设直线
的方程为
，
联立直线与椭圆方程，利用根的判别式求出参数
的范围，设
，
，利用韦达定理及点到线的距离公式表示出
及点
到直线的距离
，则
利用导数求出面积的最值；
解：（1）在
中，
，
，则
，
因为是等腰直角三角形，且周长为
，
所以
，
，
，
得
，
，
因此椭圆的方程为.
（2）由（1）知
，
，则直线的斜率
，
因为直线与垂直，所以可设直线的方程为，
代入，得
，
则
，解得
，
所以
.
设，，则
，
，
.
又点到直线的距离
，
所以，.
令
，
则
，
令
，则
或
，
令
，则
或
.
因此
在
上是增函数，在
上是减函数，
在
上是增函数，在
上是减函数.
因为
，
，
，
所以当
时，取得最大值，
，
所以
，
因此
面积的最大值是.
练习册系列答案
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【题目】某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数
与烧开一壶水所用时间
的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.
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1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中
，
.
（1）根据散点图判断，
与
哪一个更适宜作烧开一壶水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立关于
的回归方程；
（3）若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量
成正比，那么为多少时烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
.
