题目内容
已知f(x)=
,n∈N*,试比较f(
)与
的大小,并且说明理由.
,n∈N*,试比较f()与的大小,并且说明理由.见解析
f()=
=
=1-
,
而=1-
,
∴f()与的大小等价于2n与n2的大小.
当n=1时,21>12;当n=2时,22=22;
当n=3时,23<32;当n=4时,24=42;
当n=5时,25>52.猜想当n≥5时,2n>n2.
以下用数学归纳法证明:
①当n=5时,由上可知不等式成立;
②假设n=k(k≥5,k∈N*)时,
不等式成立,即2k>k2,
则当n=k+1时,2k+1=2·2k>2k2,
又∵2k2-(k+1)2=(k-1)2-2>0(∵k≥5),即2k+1>(k+1)2,
∴n=k+1时,不等式成立.
综合①②对n≥5,n∈N*不等式2n>n2成立.
∴当n=1或n≥5时,f()>;
当n=3时,f()<;
当n=2或4时,f()=.
)===1-
,而
=1-,∴f(
)与的大小等价于2n与n2的大小.当n=1时,21>12;当n=2时,22=22;
当n=3时,23<32;当n=4时,24=42;
当n=5时,25>52.猜想当n≥5时,2n>n2.
以下用数学归纳法证明:
①当n=5时,由上可知不等式成立;
②假设n=k(k≥5,k∈N*)时,
不等式成立,即2k>k2,
则当n=k+1时,2k+1=2·2k>2k2,
又∵2k2-(k+1)2=(k-1)2-2>0(∵k≥5),即2k+1>(k+1)2,
∴n=k+1时,不等式成立.
综合①②对n≥5,n∈N*不等式2n>n2成立.
∴当n=1或n≥5时,f(
)>;当n=3时,f(
)<;当n=2或4时,f(
)=.
练习册系列答案
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+
+
≥a+b+c.
(x>-1)的值域.
，若
恒成立，利用柯西不等式可求得实数
的取值范围是 .
，y＝
，则x，y的大小关系是________．