Question

已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）证明：
①上恒成立
②

Answer 1

（1）上是增函数，在上是减函数  （2）.
（3）见解析

（1）利用导函数知识求出函数的单调区间；（2）利用分离常数法把恒成立问题转化为求函数最值问题；（3）利用放缩法求证不等式成立
（1）函数       …………………1分
当时，，则上是增函数       ………2分
当时，由得                
由得                 ………4分
则上是增函数，在上是减函数        ……5分
(采用列表的方式也要给满分)
（2）解法一：由（I）知时，递增，而不  
成立，故         ………7分
又由（I）知，因为恒成立，
所以,解得              …………9分
所以,实数的取值范围为.
解法二（分离变量法）：
  ……9分
所以,实数k的取值范围为.
（3）①证明:由（2）知，当时有在恒成立，
由(1)知当时上是减函数，且，
所以,时, 恒成立,
即上恒成立 .          ……………………11分
②证明：令，则，即，从而，
所以
即