题目内容
【题目】椭圆规是画椭圆的一种工具,如图1所示,在十字形滑槽上各有一个活动滑标,
,有一根旋杆将两个滑标连成一体,
,
为旋杆上的一点,且在
,
两点之间,且
,当滑标
在滑槽
内作往复运动,滑标
在滑槽
内随之运动时,将笔尖放置于
处可画出椭圆,记该椭圆为
.如图2所示,设
与
交于点
,以
所在的直线为
轴,以
所在的直线为
轴,建立平面直角坐标系.
(1)求椭圆的方程;
(2)设,
是椭圆
的左右顶点,点
为直线
上的动点,直线
,
分别交椭圆于
,
两点,求四边形
面积为
,求点
的坐标.
【答案】(1)(2)
或
【解析】
(1)由题得,
,结合图2,可知椭圆
的长半轴长为3,短半轴长为1,故可得椭圆的方程;
(2)设点,其中
,则直线
的方程为
,直线
的方程为
,设
,
,由
得
,算出
,同理得
,所以得四边形
的面积为
,令
解方程求出
,当
时,由对称性可得
,故可得符合条件的点
.
(1)由题得,
,所以椭圆
的长半轴长为3,短半轴长为1,
故椭圆的方程为:
;
(2)设点,其中
,则直线
的方程为
,直线
的方程为
.设
,
.
由,消
得
,由于
,则
.
由,消
得
,由于
,则
.
所以四边形的面积为
.
由于,
,
故.
解得或
(舍去),即
,当
时,由对称性可得
,.
综上,当点或
时,四边形
的面积为
.

【题目】某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数 (万人)与餐厅所用原材料数量
(袋),得到如下统计表:
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
参会人数 | 13 | 9 | 8 | 10 | 12 |
原材料 | 32 | 23 | 18 | 24 | 28 |
(1)根据所给5组数据,求出关于
的线性回归方程
.
(2)已知购买原材料的费用 (元)与数量
(袋)的关系为
,
投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元,多余的原材料只能无偿返还,据悉本次交易大会大约有15万人参加,根据(1)中求出的线性回归方程,预测餐厅应购买多少袋原材料,才能获得最大利润,最大利润是多少?(注:利润销售收入
原材料费用).
参考公式: ,
.
参考数据: ,
,
.