题目内容

【题目】已知函数.

1)证明:当时,有最小值,无最大值;

2)若在区间上方程恰有一个实数根,求的取值范围.

【答案】1)证明见解析;(2).

【解析】

1)当,求,进而求出单调区间,极小值,即可证明结论;

2)分离参数转化为,令,求只有一个交点时,的范围,通过求导求出单调区间,作出图象,数形结合即可求解.

1)当时,

恒成立,

单调递增,

所以存在的,使得

单调递减,在单调递增,

时,取得极小值,也是最小值,

时,

所以有最小值,无最大值;

(2)方程恰有一实根,

恰有一实根,

恰有一个公共点,

时,

时,

上单调递增,在上单调递减,

上单调递增,即极大值为

极小值为

做出上的图象,如下图所示,

恰有一个公共点,

的取值范围是.

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