题目内容
【题目】在四棱锥中,
平面
,
,点
是矩形
内(含边界)的动点,且
,
,直线
与平面
所成的角为
.记点
的轨迹长度为
,则
______;当三棱锥
的体积最小时,三棱锥
的外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】
先根据已知条件判断出点的轨迹为圆弧,再求此时的
,即可求出
;判断三棱锥
的体积最小时即点
位于
时,此时三棱锥
的外接球球心为
的中点,所以半径为
的一半,从而可得外接球的表面积.
如图,因为平面
,垂足为
,
则为直线
与平面
所成的角,
所以.因为
,所以
,
所以点位于底面矩形
内的以点
为圆心,
为半径的圆上,
记点的轨迹为圆弧
.连接
,则
.
因为,
,所以
,
则弧的长度
,所以
.
当点位于
时,三棱锥
的体积最小,
又,
∴三棱锥的外接球球心为
的中点.
因为,
所以三棱锥的外接球的表面积
.
故答案为:;
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