题目内容
16.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(-2,0),且不等式2x≤f(x)≤$\frac{1}{2}$x2+2对一切实数x都成立.(1)求f(2)的值;
(2)求函数f(x)的解析式;
(3)当x<2时,不等式4f(x)>xm-1恒成立,求实数m的取值范围.
分析 (1)可令x=2,可得4≤f(2)≤4,即有f(2)=4;
(2)通过图象过一点得到a、b、c一关系式,由f(2)=4,又可得一关系式,再将b、c都有a表示.不等式2x≤f(x)≤$\frac{1}{2}$x2+2对一切实数x都成立可转化成两个一元二次不等式恒成立,即可解得;
(3)由题意可得mx<x2+4x+5,在x<2时恒成立,对x讨论,x=0,x<0,0<x<2,运用参数分离和函数的单调性及基本不等式,即可得到m的范围.
解答 解:(1)∵不等式2x≤f(x)≤$\frac{1}{2}$x2+2对一切实数x都成立,
∴当x=2时也成立,即4≤f(2)≤4,
即有f(2)=4;
(2)根据二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(-2,0),
可得4a-2b+c=0 ①,
又f(2)=4,即4a+2b+c=4 ②.
由①②求得 b=1,4a+c=2,
∴f(x)=ax2+x+2-4a,
∴2x≤ax2+x+2-4a≤$\frac{1}{2}$x2+2,
即$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}-x+2-4a≥0}\\{(a-\frac{1}{2}){x}^{2}+x-4a≤0}\end{array}\right.$恒成立,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{{△}_{1}=1-4a(2-4a)≤0}\\{a-\frac{1}{2}<0}\\{{△}_{2}=1-4(a-\frac{1}{2})•(-4a)≤0}\end{array}\right.$.
求得a=$\frac{1}{4}$,∴c=2-4a=1,
∴f(x)=$\frac{1}{4}$x2+x+1;
(3)当x<2时,不等式4f(x)>xm-1恒成立,
即为mx<x2+4x+5,在x<2时恒成立,
当x=0时,0<5显然成立;
当x<0时,m>x+$\frac{5}{x}$+4恒成立,
由x+$\frac{5}{x}$+4≤-2$\sqrt{x•\frac{5}{x}}$+4=4-2$\sqrt{5}$,当且仅当x=-$\sqrt{5}$取得等号,
即有m>4-2$\sqrt{5}$;
当0<x<2时,m<x+$\frac{5}{x}$+4恒成立,
由x+$\frac{5}{x}$+4在(0,2)递减,即有x+$\frac{5}{x}$+4>$\frac{17}{2}$,
即为m≤$\frac{17}{2}$,
综上可得m的范围是(4-2$\sqrt{5}$,$\frac{17}{2}$].
点评 本题考查了函数恒成立问题,以及二次函数的性质,赋值法(特殊值法)可以使问题变得比较明朗,它是解决这类问题比较常用的方法.
A. | ?x∈(0,$\frac{π}{2}$),x>sinx | B. | ?x0∈R,lgx0=0 | ||
C. | ?x0∈R,sinx0+cosx0=2 | D. | ?x∈R,3x>0 |
A. | 垂直 | B. | 相交 | C. | 平行 | D. | 都有可能 |
A. | 0≤a≤8 | B. | a≤9 | C. | a≤8 | D. | a≥9 |