题目内容

已知数列的前项和为正整数)
(1)令,求证数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)令,试比较的大小,并予以证明

(1)见解析;(2)见解析

解析试题分析:(1)由题意数列的前项和表达式,先根据求数列的通项的递推关系式,再求数列是等差数列,根据等差数列的通项求数列的通项;(2)由(1)所求数列的通项先得,再利用错位相减法求得表达式,再把作差比较大小,可利用数学归纳法证明
试题解析:(I)在中,令n=1,可得,即
时,


数列是首项和公差均为1的等差数列
于是
(II)由(I)得,所以


由①-②得


于是确定的大小关系等价于比较的大小

可猜想当证明如下:
证法1:(1)当n=3时,由上验算显示成立。
(2)假设时,
所以当时猜想成立,
综合(1)(2)可知,对一切的正整数,都有
证法2:


综上所述,当时,;当
考点:1、数列的通项及前项和;2、错位相减法求和;3、作差比较法

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