题目内容

已知数列,满足
(1)求的值;
(2)猜想数列 的通项公式,并用数学归纳法证明;
(3)己知,设,记,求

(1);;(2),证明见解析;(3)3..

解析试题分析:(1)这属于已知数列的递推关系式,求数列的项的问题,我们只要在已知递推关系式中依次令就可以依次求出;(2)用归纳法归纳数列的通项公式,我们可以由数列的前几项想象各项与项数之间的联系,如从而归纳出结论,然后数学归纳法证明,这里数学归纳法的基础即第一步已经不需另证了,关键是第二步,假设时,,然后由已知条件求出,那么结论就是正确的;(3)按常规方法,先求,接着求数列的前项和,根据其通项公式的形式(它是一个等差数列所一个等比数列对应项相乘所得),求和用乘公比经错位相减法,求得,然后借助已知极限可求出极限.
试题解析:(1)

,分别令,可得

(2)猜想数列的通项公式为.用数学归纳法证明如下:
证明 (i)当时,由(1)知结论成立;当时,,结论成立.
(ii)假设时,结论成立,即.
时,
.
所以,,即时,结论也成立.
根据(i)和(ii)可以断定,结论对一切正整数都成立.
(3)由(2)知,. 于是,



所以,
考点:(1)数列的项;(2)数学归纳法;(3)借位相减法,极限.

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